20101224

Christmas Eve！

一個以前從未仔細思考過的重要考題！

一樣是線性代數
第五章對角化時：
P^-1AP=D
R(P)=CS(P)=A的eigenvector
D則擺A的相對應之eigenvalue

第八章正交對角化時：
題目可能會給一個矩陣A
求存在一個P為orthogonal
使得P^TAP= D
這邊與第五章不一樣的地方
同樣是求出矩陣A的eigenvalue即其對應之eigenvector
但是P有要求為orthogonal
代表要每個相異的eigenvector為垂直
加上由算子理論的hermitian matrix性質可知
既然是hermitian matrix
所求出之eigenvalue必為實數
且該對應之eigenvector必互相垂直
但是現在問題出在
假若出現eigenvalue的algebric multiplicity(代數重數)>1
所對應之eigenvector數量>1
這些eigenvector並未保證垂直
所以必須將同一個eigenvalue所對應之eigenvector
做Gram-Schmidt process使其垂直
這時候才可填入P矩陣中
但是還有一點要注意的是
因為題目要求P為orthogonal matrix
滿足column為orthonormal
所以必須將剛剛算出之eigenvector做單位化(除以本身長度)
則D矩陣同第五章
依序擺eigenvalue
完畢！

題外話
有時考題會直接給一個大型矩陣
要判斷是否可做對角化
小黃說：千萬不要沒判斷矩陣就開始硬幹！
硬要解eigenvalue並判斷代數重數是否等於幾何重數

判斷是否為實數對稱矩陣(real symmetric matrix)
如果符合此形式矩陣
必可正交對角化
所以也可以對角化
觀念題~四大送分題XD