20101227

天阿！
又到睡前的時刻了
今天花了太多時間在二項式求極值中的Reyleigh Principle
雖然小黃一直說第八章不用念的太強XD

定義在Hermitian Matrix所以eigenvalue皆為實數
所以可以排大小
Rayleigh Quotient
分子擺二項式
分母擺長度的平方

最大值就是利用主軸定理所假設出的矩陣所求出的最大eigenvalue
同理最小的就是最小eigenvalue

有一個要注意的地方：
Rayleigh Quotient中的x假若取的是eigenvector
則Rayleigh Quotient就會是eigenvalue

其中：此eigenvector必須要做單位化！！！

由於利用主軸定理所令出的Matrix幾乎都很接近對角矩陣
只差在對角項不一定而已
所以要求這種矩陣的eigenvalue變的非常困難
列運算很久也不一定可以找到一個零行或零列可以降階
就是因為這個原因讓我今天花如此大量時間的主因
後來我發現搞不好直接硬幹3*3矩陣會比較快XD
反正了不起就是3*3而已...

另外有一道題要消除cross term(95中正)
因為我的eigenvector擺的順序跟小黃不一樣
我花了非常多的時間在驗算是否兩者相同= =

其中還有一個小小關鍵點也是要注意的：
Rayleigh Quotient的分母假若=1時該怎麼辦@@
也就是Rayleigh Quotient只有分子的情況(只有二次式)
這時候必須將(X^H)AX的範圍縮小至單位圓(球)
才可以直接由最小eigenvalue求最小值

關於矩陣的長度：norm
有四個要記住的
F norm：(A^T)A的trace開根號、或由矩陣內的各element平方相加之後開根號
1 norm：由每行的元素取絕對值相加找最大的那行。(注意：不是相加取絕對值)
無限 norm：由每列的元素取絕對值相加找最大的那行。(注意：不是相加取絕對值)
2 norm：因為A(A^H)必為正半定得知eigenvalue>=0的實數，所以可以比大小找MAX
               作法：求出A(A^H)之eigenvalue再開根號即為所求

condition number：在可逆矩陣的情況下
定義：條件數：||A||*||A^-1||。看題目要求是何種norm

問題來了
假若求的是2-norm
難道要球兩次的eigenvalue外加一次inverse！
天啊！這麼浩大的工程！
解法：
因為A為可逆只能保證eigenvalue不為0
但是不保證為實數
所以無法比較大小
這時候就直接求(A^T)A的eigenvalue並由小排到大
//(A^T)A：同理，因為正半定，所以eigenvalue為實數所以可以排大小
再由最大( eigenvalue / 最小eigenvalue )開根號即為所求



剛剛洗澡前花了大概30分中練球
並且搭配腳步
哈哈
希望趁這段時間唸書搭配適量運動(練球)
桌球球技可以在提升~
不過才拉了大概30分鐘
心臟就快要跳出來的感覺= =
又讓我想起了大四時有位醫生所講的一句話
"會引發心臟衰竭"

呼呼~真恐怖！